【高等数学】上海交通大学-乐经良(笔记)

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实数集R = 有理数集(Q) + 无理数集

有理数集的特性：

  1. 有序性：任何两个有理数可以比较大小。
  2. 对加减乘除运算的封闭性(构成数域)：
    集合中任意两个元素经过某种运算得到的元素还在这个集合中，则称这个集合关于这种计算封闭；
    自然数集关于 + , x 封闭，但两个自然数相减所得的数可能不再是自然数，引入减法，任意两个整数经过 + , - , x 所得的数仍是整数，自然数集被扩充为整数集，整数集关于 + , - , x 封闭。但任意两个整数相除所得的数可能不再是整数，整数集关于除法运算不封闭，在引入除法之后，整数集被扩充成有理数集，有理数集关于四则运算封闭。
  3. 稠密性：
    对于任意相邻的两个整数而言，比如1，2，已经无法在他们之间找到另外一个整数了，不同整数之间至少相差了“1”的长度，称整数集是“离散的”。就“可以找到任意两点之间的最小距离，使得无法在相邻两整数之中找到另外一个不同的整数”这个性质来说，与整数相比，有理数集是截然不同的。对有理数而言，无法找到如同整数一样“相邻”的两个有理数，找到不同有理数之间的最小距离，无论两个不同的有理数的距离多么小，总能找到另外一个有理数夹在这两个有理数中间，得到一个更小的距离。或者也可以理解为，在数轴上取一个线段，不管这个线段多么短，总能在这个线段上找到一个有理数，称有理数这样的性质为“稠密性”。
    从这样的描述中容易在直观上感觉到似乎在数轴上处处都充满了有理数点，似乎关于“数系”已经完美了。从现代数学的角度，我们当然知道这是错误的。

从上述集合关于运算封闭性的角度考虑，有理数集关于开根号的运算是不封闭的，如 √2 √3 等，因此在有理数集中引入开根号运算，有理数集就被扩充为实数集，实数集关于四则运算和开根号运算封闭。发现这些无理数的存在，让人们意识到，直观上有理数点充满整个数轴的认识是错误的，数轴上还有许多“点”无法被有理数点填充，这些点就是无理数所在。

有理数的稠密性，从直观的角度去理解：在数轴上任意选一个线段，不管这个线段都么短，只要这个线段不是一个点，就一定能找到一个有理数。有理数在数轴上选取的任何线段中都存在，但在某个点上就可能不存在了，这就是有理数的稠密性。对实数而言，不需要在数轴上选取线段，任意选取一个点，这个点就一定是实数，这时候对数轴来说才是真正的“完整”了，没有任何的“间断点”。

从上面的分析中我们发现，所谓数轴上关于实数的完整、连续也是基于四则计算和 n√x 而言的，如果未来有一天有人发现，实数集关于某种新运算不再封闭，或许就意味着实数会如同当初的有理数一样，被扩充，也会从现在的“连续”变为将来的“稠密”。

实数集多具有一个特性：完备性(或连续性)

实数 <--> 数轴上的点(一一对应)

区间

有界区间：

设a<b，那么

开区间(a,b) = {x | a< x < b , x ∈ R}
闭区间[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b , x ∈ R}
还有半开半闭区间

无界区间：

(-∞ , b) = {x | x< b, x ∈ R}
还有两端都为无穷，和一段为无穷

邻域：

若a ∈ R ， δ > 0 则
U(a, δ) = (a - δ , a + δ) ： a的δ邻域
°U(a, δ) = (a - δ , a) U (a , a + δ) ： a的去心δ邻域

有的时候既不需要强调中心，也不需要强调半径，这个时候就称"a的邻域"

一些符号：

∈ : 属于; ∉ : 不属于; ∀ : 任给的 任意的; ∃ : 存在;
⇒ : 蕴含着 必要条件; ⇐ : 源于充分条件; ⇔ : 等价;

[公式]

: “定义为”符号

max E : E中最大者；min E：E中最小者

不等式

例：伯努利不等式

在箭头处使用伯努利不等式

实数集的界：

上界：

设E为非空实数集， ∃ M ∈ R
∀ x ∈ E ； x ≤ M 称M是E的一个上界。
E既有上界又有下届成这个集合数是有界的。

有界等价表达： ∃ M > 0 , ∀ x ∈ E : |x| ≤ M

上确界：

即为最小上界

数学描述：

E为非空实数集，∃ β ∈ R，
(1)∀ x ∈ E , x ≤ β
(2)∀ δ > 0, ∃ xδ ∈ E : xδ > β-δ

确界存在性公理：集合有上界必有上确界。

函数

简而言之，函数就是数集间的对应关系
(一个数集 到另一个数集上的对应关系)

函数的表示：只要给出两个要素
1）定义域 2）对应关系

可以用解析式，也可以用图表等方式

例 随飞机托运行李（kg）与价格（元）的关系

Dirichlet函数

函数特性：

奇偶性

有界性 函数的有界指的就是它的值域是有界的

Α α：阿尔法 Alpha
Β β：贝塔 Beta
Γ γ：伽玛 Gamma
Δ δ：德尔塔 Delte
Ε ε：艾普西龙 Epsilon
Ζ ζ ：捷塔 Zeta
Ε η：依塔 Eta
Θ θ：西塔 Theta
Ι ι：艾欧塔 Iota
Κ κ：喀帕 Kappa
∧ λ：拉姆达 Lambda
Μ μ：缪 Mu
Ν ν：拗 Nu
Ξ ξ：克西 Xi
Ο ο：欧麦克轮 Omicron
∏ π：派 Pi
Ρ ρ：柔 Rho
∑ σ：西格玛 Sigma
Τ τ：套 Tau
Υ υ：宇普西龙 Upsilon
Φ φ：fai Phi
Χ χ：器 Chi
Ψ ψ：普赛 Psi
Ω ω：欧米伽 Omega

本笔记内引用了如下内容：

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